قاموس الشيطان: مفارقة راسل

اعتقد الفيلسوف والمنطقي العريق Gottlob Frege أن بإمكانه تعريف جميع المفاهيم واثبات كل الحقائق الرياضية من خلال المنطق فقط. هذه الفلسفة بأن الرياضيات يمكن اختزالها للمنطق تدعى المنطقية. ولو تمكن فريج من إثبات حقيقة المنطقية لكان أعظم إنجاز في تاريخ الفلسفة… لكنه لم ينجح.

أحد المبادئ المنطقية المستخدمة لإثبات وجود الأرقام والوظائف والأشياء الرياضية الأخرى هو: لكل فرضية ” F(P)” هنالك مجموعة من الأشياء التي هي F. والمثالان على ذلك هما: يحدد “عدد أولي” مجموعة الأرقام (1, 2, 3, 5…) وتحدد “المجموعة” مجموع المجموعات.

في عام 1903 أظهر برترنارد راسل أن (P) متناقضة ذاتيًا مع الحجة التالية: بفرضية “ليست عضوًا في ذاتها” مع (P) هنالك مجموعة -بفرض أنها X- من المجموعات التي ليست أعضاءً في ذواته. هل X عضو في مجموعتها؟ إذا كانت فهي ليست كذلك وإذا لم تكن عضوًا فهي كذلك.

ذلك صعب للغاية… مالم تحمل شهادة متقدمة في الرياضيات. لحسن الحظ، وليس بعد فترة طويلة أتى المنطقيان Grelling and Nelson بصيغة أسهل للمفارقة وهي:

في الإنكليزية هناك نوعان من الكلمات، تلك التي تشير إلى نفسها (autological) وتلك التي لا تشير إلى نفسها (heterological) مثال على الصنف الأول هو كلمة Short وهي كملة قصيرة. وكمثال على الصنف الثاني هو كلمة Long وهي كلمة ليست طويلة. والسؤال هو: هل كلمة “heterological” تشير إلى ذاتها. إذا كانت ذاتية، فهي مغايرة. وإذا كانت مغايرة فهي ذاتية.

إذا كانت الرياضيات تجعل الموضوع صعبًا فالنحو لا يسهله أبدًا -وخصوصًا بين اللغات- ومن هنا ظهرت مفارقة الحلاق:

هنالك حلاق في بلدة يحلق فقط ولكل الذين لا يحلقون لأنفسهم. تبعًا لذلك، إذا كان الحلاق يحلق لنفسه فهو لا يحلق لنفسه وإذا لم يكن يحلق لنفسه فهو لا يحلق أبدًا.

حلّ هذه المغالطة هين لأن هكذا حلاق لا يمكن أن يوجد أبدًا والخطأ هو في تأسيس شكل الفئة. لكن فريج لم يقبل طريقة المماثلة في المجموعات لأنه بطريقته توصل لإيجاد المجموعات الضرورية في الرياضيات.